Lösung





Die Wahrscheinlichkeit beträgt 20% .

Um das Problem besser zu verstehen, bezeichnen wir die Kupfermünze mit K und die Silbermünze mit S.
Wir stellen uns vor, dass es eine große Goldmünze G und eine kleinere Goldmünze g gibt.

Nach dem Herausholen hält der Mann zwei Münzen, also ein Paar in der Hand.
Die Reihenfolge, in der diese beiden Münzen gezogen wurden, spielt keine Rolle.
Wir können uns ja vorstellen, der Mann hätte mit einem einzigen Griff beide Münzen gleichzeitig gezogen.

Es gibt 6 verschiedene Paarmöglichkeiten: Gg, GK, GS, gK, gS und KS.
Darunter gibt es allerdings nur 5 Paare, die mindestens eine Goldmünze enthalten. Gg ist ein Paar davon.
Aufgrund der Aussage des Mannes steht fest, dass eines dieser 5 Paare gezogen wurde.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Paar Gg gezogen wurde, beträgt also 20% .





Äußerst interessant sind auch folgende 3 Überlegungen, die alle ganz logisch klingen, aber trotzdem leider zu falschen Lösungen führen:

1. Wenn eine gezogene Münze golden ist, so kann die zweite gezogene Münze nur golden, kupfern oder silbern sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen golden sind, beträgt also 1/3.

2. Wenn die eine gezogene Münze die große goldene ist, so kann die zweite gezogene Münze nur "klein-golden", kupfern oder silbern sein. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit in diesem Falle beträgt also 1/3.
Wenn die eine gezogene Münze die kleine goldene ist, so kann die zweite gezogene Münze nur "groß-golden", kupfern oder silbern sein. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit in diesem Falle beträgt also ebenfalls 1/3.
Egal, ob die erste gezogene goldene Münze "groß-gold" oder "klein-gold" ist, in jedem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen golden sind, 1/3.

3. Da es, wie im Fall 2 beschrieben, 2 Möglichkeiten für eine erste goldene Münze gibt, und beide Möglichkeiten eine Lösungswahrscheinlichkeit von 1/3 zulassen, so beträgt insgesamt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 2/3.


Interessant ist auch folgende Variante der Aufgabe:

Falls der Mann sagen würde: "Eine meiner beiden gezogenen Münzen ist die große goldene. Wie groß ist die Wahrcheinlichkeit, dass die zweite Münze ebenfalls golden ist?", dann wäre die Lösung genau 1/3.

Analog: Falls der Mann sagen würde: "Eine meiner beiden gezogenen Münzen ist die kleine goldene. Wie groß ist die Wahrcheinlichkeit, dass die zweite Münze ebenfalls golden ist?", dann wäre die Lösung auch genau 1/3.



Insgesamt folgt: Wahrscheinlichkeitslehre ist nicht einfach!


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